terça-feira, 27 de setembro de 2011

Segunda lei de Newton


“Lex II: Mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae, etfieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.”
“Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.”

A segunda lei de Newton, também chamada de princípio fundamental da dinâmica, afirma que a força resultante em uma partícula é igual a razão do tempo de mudança do seumomento linear \vec p em um sistema de referência inercial:
\vec {F} = \frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t} = \frac{\mathrm{d}(m \vec v)}{\mathrm{d}t},
Esta lei conforme acima apresentada tem validade geral, contudo, para sistemas onde a massa é uma constante, esta grandeza pode ser retirada da derivada, o que resulta na conhecida expressão muito difundida no ensino médio 
\vec {F} = m\,\frac{\mathrm{d}\vec {v}}{\mathrm{d}t} = m\vec {a},
onde \vec F é a força resultante aplicada, m é a massa (constante) do corpo e \vec a é aaceleração do corpo. A força resultante aplicada a um corpo produz uma aceleração a eladiretamente proporcional.
Em casos de sistemas à velocidades constantes e massa variável, a exemplo um fluxo constante de calcário caindo sobre uma esteira transportadora em indústrias de cimento, a velocidade pode ser retirada da derivada e a força horizontal sobre a esteira pode ser determinada como:
\vec {F} = \vec {v} \,\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = \vec v \dot m .
onde  \vec v  é a velocidade constante da esteira e  \dot m  é a taxa temporal de depósito de massa sobre esta.
Em casos mistos onde há variação tanto da massa como da velocidade - a exemplo do lançamento do ônibus espacial, ambos os termos fazem-se necessários.
A segunda lei de Newton em sua forma primeira, \vec {F} = \frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t}, ainda é válida mesmo se os efeitos da relatividade especial forem considerados, contudo no âmbito da relatividade a definição de momento de uma partícula requer alteração, sendo a definição de momento como o produto da massa de repouso pela velocidade válida apenas no âmbito da física clássica.

Impulso

Um impulso \vec I ocorre quando uma força \vec F age em um intervalo de tempo Δt, e é dado por:
\vec {I} = \int_{\Delta t} \vec F \,\mathrm{d}t .
Já que força corresponde à derivada do momento no tempo, não é difícil mostrar que:
\vec {I} = \Delta\vec {p}
Trata-se do teorema do impulso variação da quantidade de movimento, muito útil na análise de colisões e impactos..

]Sistema de partículas e massa variável

Sistemas de massa variável, como um foguete queimando combustível e ejetando partes, não é um sistema fechado, com massa constante, e não pode ser tratado diretamente pela segunda lei conforme geralmente apresentada nos cursos de ensino médio,  \vec F = m \vec a .[11]
O raciocínio, dado em An Introduction to Mechanics de Kleppner e Kolenkow, e outros textos atuais, diz que a segunda lei de Newton nesta forma se aplica fundamentalmente a partículas.[12] Na mecânica clássica, partículas tem por definição massa constante. No caso de um sistema de partículas bem definido, contudo ainda com massa constante, mostra-se que esta forma da lei de Newton pode ser estendida ao sistema como um todo, tendo-se então que:
\Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext.}} = M\vec {a}_\mathrm{c.m.}
onde  \Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext}} refere-se à soma das forças externas sobre o sistema, M é a massa total do sistema, e \vec {a}_{\mathrm{c.m.}} é a aceleração do centro de massa do sistema.
Para um sistema com massa variável puntual ou tratado como tal em vista da definição de centro de massa, a equação geral do movimento é obtida mediante a derivada total encontrada na segunda lei em sua forma primeira: [10]
\vec F = \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t}
onde \vec v_{(t)} é a velocidade instantânea da massa sobre o qual se calcula a força e m(t) corresponde à massa em questão, ambas no instante t em consideração.
Em análise de lançamento de foguetes é comum expressar-se o termo associado à variação de massa \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}  não em função da massa e da velocidade do objeto mas sim em função da massa ejetada e da velocidade  \vec u  desta massa ejetada em relação ao centro de massa do objeto (nave) e não em relação ao referencial escolhido.  \vec u  é pois a velocidade relativa da massa ejetada em relação ao veículo que a ejeta. Mediante tais considerações mostra-se que:

\Sigma \vec F_{ext} = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} - \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}
O termo  \vec {u} \frac{\mathrm{d_{(t)}} m}{\mathrm{d}t} no lado direito, conhecido geralmente como o empuxo  \vec E , corresponde à força atuando no foguete em um dado instante devido à ejeção da massa dm com velocidade  \vec u (em relação à nave) devido à ação de seus motores, e o temo à esquerda,  + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} , à força total sobre a nave, incluso qualquer força externa que por ventura esteja simultaneamente atuando sobre o projétil - a saber a força de atrito do ar, ou outra. Vê-se pois que, em termos de diferenciais, a força total F sobre a nave é:
\vec F = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \Sigma \vec F_{ext} + \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}
Para um caso ideal sem atrito tem-se pois que:
\vec F = m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} = \vec E
ou seja, a força a impelir a massa m para frente é devida apenas à ejeção de massa proporcionada pelos seus foguetes para traz (lembre-se que  \vec u  e  d\vec v  têm sentidos opostos, contudo  \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}  é negativo, pois a massa diminui com o tempo)
Postado por às

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